A. KAIDAH PENCACAHAN (Counting Rules)
1. Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots)
Apabila suatu kegiatan (operasi) dapat dilakukan dengan m cara berlainan, dan kegiatan (operasi) kedua dapat dilakukan dengan n cara, maka banyak cara untuk melakukan kedua kegiatan (operasi) itu berturut-turut adalah m x n.
Contoh Tersedia angka-angka 1, 2, dan 3. Berapa banyak bilangan tiga angka dapat dibentuk dari angka- angka itu jika setiap bilangan yang berbentuk terdiri dari angka-angka yang berbeda ?
Penyelesaian
Ø Cara 1 : Salah satu cara untuk menyusun bilangan-bilangan yang ditanyakan ialah dengan cara menentukan berturut-turut angka ratusan, angka puluhan, dan angka satuan yang mungkin, seperti terlihat pada diagram berikut :
Banyak bilangan yang terbentuk adalah 6 bilangan.
Ø Cara 2 :
| Ratusan
| Puluhan
| Satuan
|
Banyak cara
| 3
| 2
| 1
|
Banyak bilangan yang terbentuk = 3 x 2 x 1 = 6 bilangan.
Contoh Perhatikan diagram di bawah ini. A, B, dan C adalah kota-kota di suatu daerah yang
dihubungkan oleh beberapa jalan. Berapa banyak rute berbeda dari kota A ke kota C!
Penyelesaian
| Kota A – Kota B
| Kota B – Kota C
|
Banyak rute
| 4
| 3
|
Jadi, banyaknya rute berbeda dari kota A ke kota C yang dapat disusun adalah 4 x 3 = 12 rute.
2. Pengertian dan Notasi Faktorial
Bentuk umum faktorial dinyatakan dengan notasi n! (dibaca n faktorial), n ≥ 0.
n! = n x (n – 1) x (n – 2) x … x 3 x 2 x 1
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
0! = 1
LATIHAN 1
1. Tersedia angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Berapa banyak bilangan 3 angka dapat dibentuk dari angka-angka tersebut, jika :
a. Setiap bilangan yang terbentuk boleh memuat angka sama
b. Setiap bilangan yang terbentuk harus memuat angka berbeda.
c. Kerjakan seperti pada a) untuk bilangan genap 6 angka.
d. Kerjakan seperti pada a) untuk bilangan ganjil 7 angka.
2. Tersedia angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Dari angka-angka ini dibentuk bilangan-bilangan terdiri dari 4 angka dan tidak memuat angka yang sama. Berapa banyak bilangan yang terbentuk, jika :
a. Bilangan-bilangan itu lebih dari 3000 ?
b. Bilangan-bilangan itu kurang dari 6000 tetapi lebih dari 2000 ?
c. Bilangan-bilangan itu merupakan bilangan genap ?
3. Diketahui kota A, B, dan C. Dari kota A ke kota B dihubungkan dengan 3 rute jalan darat dan 2 penerbangan dengan pesawat udara dan dari kota B ke kota C dihubungkan dengan 4 rute jalan darat dan 5 penerbangan pesawat udara. Berapa banyak rute berbeda dari kota A ke kota C melalui kota B, jika rute tersebut :
a. Kesemuanya jalan darat ?
b. Melalui jalan darat dilanjutkan dengan penerbangan pesawat udara ?
c. Tanpa memperhatikan jalan darat maupun penerbangan pesawat udara ?
d. Melalui penerbangan pesawat udara saja ?
4. Aliffia mempunyai 5 pasang sepatu dan 6 pasang kaus kaki yang biasa digunakan saat pergi ke sekolah. Ada berapa pasang sepatu dan kaus kaki yang bisa dipakai aliffia saat pergi ke sekolah.
5. Dalam suatu acara dihadiri oleh keluarga P yang terdiri dari 6 orang dan keluarga Q yang terdiri dari 8 orang. Jika antara anggota kedua keluarga saling berjabat tangan, berapa banyak jabat tangan yang terjadi antara mereka?
B. PERMUTASI
1. Pengertian Permutasi dan Penentuan Banyak Permutasi
Permutasi k unsur dari n unsur, untuk k £ n, adalah cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya. Banyak permutasi k unsur dari n unsur dinyatakan
, atau P(n, k).
Contoh
1. Nilai dari P(6, 2) dan P(10, 3)
Ø P(6, 2) =
= 6 x 5 = 30
Ø P(10, 3) =
= 
=10 x 9 x 8 =
720
2. Pada pemilihan pengurus suatu kelas yang terdiri dari seorang ketua kelas, seorang wakil ketua kelas, seorang sekretaris, dan seorang bendahara, tersedia 8 orang calon. Setiap calon mempunyai kemungkinan yang sama untuk menduduki salah satu dari jabatan yang ada. Ada berapa cara susunan pengurus kelas dapat disusun ?
Ø Banyak susunan yang dapat tersusun adalah P(8, 4), yaitu
P(8, 4) =
= 8 x 7 x 6 x 5 = 1680
Jadi, banyak susunan pengurus yang dapat disusun adalah 1680 cara.
2. Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama (Pengulangan)
Banyaknya cara menyusun n unsur dengan p unsur sama dari satu jenis, q unsur sama dari jenis lainnya, dan seterusnya, adalah
Contoh
Susunan berbeda yang dapat di bentuk dari huruf-huruf pada kata “MATEMATIKA” ?
Ø n = 10, Huruf A = 3, M = 2, T = 2. Sehingga
P =
= 151.200
Susunan huruf yang terbentuk adalah 151.200
3.
Permutasi Siklis
Banyak permutasi siklis dari n unsur adalah
Contoh
Empat orang sedang mengadakan rapat. Mereka duduk pada meja bundar. Berapa cara posisi mereka duduk ?
LATIHAN 2
1. Dalam suatu kesempatan 5 siswa berdiri berjajar dalam satu barisan. Ada berapa barisan berbeda yang mungkin terbentuk dari 5 siswa tersebut?
2. Diketahui ada 6 anggota keluarga yang terdiri dari 2 putra dan 4 putri duduk berjajar. Ada berapa formasi duduk agar yang putra selalu mengapit yang putri?
3. Dalam acara reuni alumni suatu sekolah dihadiri oleh 8 orang, 3 diantaranya bersaudara. Jika mereka foto bersama dalam satu barisan, ada berapa lembar foto yang mungkin agar yang bersaudara selalu tetap berdekatan?
4. Irwan mempunyai 4 buku IPA, 2 buku IPS, 2 buku bahasa Indonesia, dan 3 buku bahasa inggris. Buku-buku tersebut akan ditata berjajar di rak. Tentukan banyaknya cara Irwan menata buku-buku tersebut supaya buku sejenis dalam satu kelompok?
5. Berapa banyak permutasi dari unsur-unsur {a,b,b,c,c,c,d} ?
6. Dalam rangka menyambut hari kemerdekaan Republik Indonesia, akan dipasang 9 umbul-umbul yang berlainan warna. Berapa banyak susunan warna umbul-umbul yang dapat dipasang jika 9 umbul-umbul tersebut terdiri dari 4 warna merah, 3 warna kuning, dan 2 warna putih?
7. Jika
adalah permutasi r elemen dari n elemen, tentukan nilai n yang memenuhi persamaan :
a.
= 20
b.
8. Jika
adalah permutasi r elemen dari n elemen, buktikan n.
9. Berapa banyak dari angka-angka 1,2,3,4,5, dan 6 jika di bentuk bilangan yang terdiri dari 4 angka.
a. Dengan pengulangan?
b. Berlainan?
c. Berlainan dan habis dibagi 2?
d. Dengan pengulangan dan ganjil?
10. Dalam suatu ruang tunggu tersedia hanya 3 kursi. Jika di ruang tunggu tersebut ada 20 orang, berapa banyak cara mereka duduk berdampingan?
C. KOMBINASI
1. Pengertian Kombinasi dan Penentuan Banyak Kombinasi
Contoh
1. Nilai dari C (5, 2) dan C (10, 7)!
2. Himpunan A = {a, b, c, d, e}. banyak himpunan bagian dari himpunan A yang mempunyai 2 anggota.
Ø Banyak himpunan bagian dari A yang mempunyai 2 anggota adalah C (5, 2).
Jadi, banyak himpunan bagian dari A dengan 2 anggota adalah 10.
3. Sebuah kantong berisi 6 kelereng putih dan 4 kelereng merah. Dari kantong itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Cara pengambilan kelereng, jika yang diambil adalah
Ø Ketiganya berwarna putih!
Banyak cara pengambilan adalah C(6, 3)
Jadi, banyak cara pengambilan adalah 20 cara.
Ø 2 kelereng berwarna putih!
Banyak cara pengambilan 2 kelereng putih adalah C (6, 2) dan banyak cara pengambilan 1 kelereng merah adalah C (4, 1). Maka banyak cara pengambilan seluruhnya adalah C(6, 2) x C(4, 1).
C (6, 2) = 
=

=

= 15
dan C (4, 1) =
=

= 4
C (6, 2) x C(4,1) = 15 x 4 = 60
Jadi, banyak cara pengambilan adalah 60 cara.
2. Teorema Binomial Newton
Apabila n adalah bilangan asli dan x dan y sembarang bilangan real, maka :
Contoh
1. Carilah hasil dari (a +b)5 !
Ø (a +b)5 = C (5, 0) a5 + C (5, 1) a4 b + C (5, 2) a3 b2 + C (5, 3) a3 b2 + C (5, 4) a4 b1 + C (5, 5) a b5
2. Koefisien dari x3 pada (2x – 3)5 !
Ø Bentuk yang memuat x3 adalah C (5, 2) (2x)3 (-3)2 = 10 (8x3) (9) = 720 x3
Jadi, koefisien dari x3 adalah 720.
LATIHAN 3
1. Suatu perkumpulan pemain bulu tangkis mempunyai 10 pemain putra dan 8 pemain putri. Berapa cara masing-masing pasangan berikut dapat dibentuk ?
a. pasangan ganda putra
b. pasangan ganda putri
c. pasangan ganda campuran
2. Suatu perkumpulan telah memilih 10 orang calon yang terdiri dari 6 orang laki-laki dan 4 orang wanita, untuk dipilih menjadi pengurus perkumpulan yang terdiri dari 4 orang. Berapa cara susunan pengurus yang dapat dibentuk, jika :
a. semua pengurus laki-laki ?
b. semua pengurus wanita ?
c. pengurus terdiri dari 3 orang laki-laki dan 1 orang wanita ?
d. pengurus terdiri dari 2 orang laki-laki dan 2 orang wanita ?
e. pengurus terdiri dari 1 orang laki-laki dan 3 orang wanita ?
3. Dengan menggunakan Teorema Binomial Newton, carilah hasil dari :
a. (2x – 1)6
b. (4 – x)4
4. Carilah koefisien dari x4 pada (2x – 5)6
5. Dalam suatu kegiatan pramuka, regu A harus menambah 3 anggota lagi yang dapat dipilih dari 7 orang. Berapa banyak cara memilih yang dapat dilakukan oleh regu A?
6. Dalam pemilihan murid teladan di suatu sekolah tersedia calon yang terdiri dari 5 orang putra dan 4 orang putri. Jika akan dipilih sepasang murid teladan yang terdiri dari seorang putra dan seorang putri, berapa banyak pasangan yang mungkin terpilih?
7. Aliffia memiliki delapan teman akrab. Dia ingin mengundang tiga dari delapan temannya untuk diajak makan bersama. Namun, dua di antara mereka adalah pasangan suami istri. Berapa banyak kemungkinan cara Aliffia mengundang temannya jika suami istri tersebut diundang atau keduanya tidak diundang?
8. Di suatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 orang. Calon yang tersedia adalah 5 pria dan 4 wanita. Berapa banyak susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria?
9. Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 7 soal ulangan, tapi soal nomor 1 dan 2 harus dikerjakan. Banyak pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah..
10. Jika H adalah suatu himpunan huruf yang terdapat pada kata “KATA HATI” berapa banyak himpunan bagian yang anggotanya dua atau lebih ?
D. PELUANG SUATU KEJADIAN
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
v Percobaan à Kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama, yang hasilnya merupakan salah satu anggota dari himpunan tertentu
v Ruang sampel (S) à Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
v Kejadian à Sembarang himpunan bagian dari S.
2. Peluang Suatu Kejadian
Peluang terjadinya kejadian A dilambangkan oleh P(A), yang dinyatakan sebagai berikut :
n(A) = Jumlah anggota kejadian A dan n (S) = jumlah anggota ruang sampel.
Contoh
1. Pada percobaan lempar undi sebuah dadu, peluang kejadian muncul bilangan prima.
Ø S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6, A adalah kejadian muncul bilangan prima, maka :
A = {2, 3, 5} dan n (A) = 3
2. Suatu kantong berisi 6 kelereng merah dan 5 kelereng biru. Dari kantong itu diambil 2 bola sekaligus secara acak. peluang bahwa kelereng yang diambil :
a. berwarna merah seluruhnya
b. berbeda warnanya
Ø n(S) adalah banyaknya cara pengambilan 2 kelereng dari kantong yang berisi 6 kelereng merah dan 5 kelereng biru.
n(S) = C(11, 2) =
=
= 55
a. A adalah kejadian kelereng yang terambil berwarna merah seluruhnya. Maka n(A) adalah banyaknya cara pengambilan 2 kelereng merah dari 6 kelereng merah yang tersedia.
n(A) = C(6, 2) =
=
= 15
P(A) =
=
b. B adalah kejadian kelereng yang terambil berbeda warnanya. Maka n(B) adalah banyak cara pengambilan 1 kelereng merah dan 1 kelereng biru dari 6 kelereng merah dan 5 kelereng biru yang tersedia.
n(B) = C(6, 1) x C(5, 1) = 6 x 5 = 30
P(A) =
=
3. Frekuensi Harapan
Jika suatu Percobaan yang di lakukan N kali dengan peluang kejadian A adalah P(A), maka frekuensi harapan kejadian A adalah sebagai berikut.
LATIHAN 4
1. Pada percobaan lempar undi sebuah dadu, carilah peluang kejadian :
a. muncul mata dadu bilangan prima genap
b. muncul bilangan berjumlah sekurang–kurangnya
2. Dari sebuah kantong yang berisi 9 kelereng putih dan 8 kelereng hijau diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Hitunglah peluang kejadian kelereng yang terambil :
a. terdiri dari 2 kelereng putih dan 1 kelereng hijau
b. terdiri dari 1 kelereng putih dan 2 kelereng hijau
3. Dari percobaan lempar undi sebuah dadu 360 kali, hitunglah frekuensi harapan kejadian muncul :
a. bilangan prima ganjil
b. bilangan lebih dari 4
4. Dua dadu dilempar sekaligus sebanyak 720 kali. Berapa frekuensi harapan jumlah mata dadu yang muncul habis dibagi 6?
5. Sebuah kotak berisi 4 bola hijau dan 6 bola merah. Secara acak diambil 2 bola dari kotak. Berapa peluang kejadian jika kedua bola yang terambil berwarna hijau
E. Peluang Suatu Kejadian Majemuk
1. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Komplemen suatu kejadian A adalah Kejadian tidak terjadinya Kejadian A, yang dinyatakan sebagai berikut.
Contoh
Pada percobaan lempar undi dua dadu yang berwarna merah dan biru, peluang kejadian mata dadu yang muncul berjumlah kurang dari 11.
|
|
| Dadu biru
|
1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
|
Dadu
merah
| 1
| (1, 1)
| (1, 2)
| (1, 3)
| (1, 4)
| (1, 5)
| (1, 6)
|
2
| (2, 1)
| (2, 2)
| (2, 3)
| (2, 4)
| (2, 5)
| (2, 6)
|
3
| (3, 1)
| (3, 2)
| (3, 3)
| (3, 4)
| (3, 5)
| (3, 6)
|
4
| (4, 1)
| (4, 2)
| (4, 3)
| (4, 4)
| (4, 5)
| (4, 6)
|
5
| (5, 1)
| (5, 2)
| (5, 3)
| (5, 4)
| (5, 5)
| (5, 6)
|
6
| (6, 1)
| (6, 2)
| (6, 3)
| (6, 4)
| (6, 5)
| (6, 6)
|
|
|
Misalkan A adalah kejadian mata dadu yang muncul berjumlah kurang dari 11, maka AC adalah kejadian mata dadu yang muncul berjumlah sekurang-kurangnya 11. Dengan demikian,
AC = {(6, 6), (5, 6), (6, 6)} dan n(AC) = 3
P(AC) =
Mengingat bahwa P(AC) = 1 – P(A), maka :
P(A) = 1 – P(AC) = 1 -
=
2. Gabungan Dua Kejadian
v Kejadian-kejadian Saling Lepas
P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B), apabila A Ç B = { }, maka P(A Ç B) = 0,
sehingga P(A È B) = P(A) + P(B) maka A dan B disebut dua kejadian yang saling lepas.
Contoh
Pada lempar undi dua dadu merah dan biru, A adalah kejadian mata dadu merah muncul angka 2 dan B adalah kejadian mata dadu merah muncul angka 5. peluang kejadian A dtau B (yaitu kejadian mata dadu merah muncul angka 2 atau 5).
Dengan diagram, n (S) = 36, n(A) = 6, dan n(B) = 6. selain itu, tampak bahwa A dan B adalah dua kejadian saling lepas, karena A Ç B = { }, sehinggga
3. Kejadian Bersyarat
Contoh
Dari suatu kantong yang berisi 5 bola kuning dan 7 bola hijau di ambil satu bola dua kali berturut-turut tanpa pengembalian. peluang kejadian bahwa bola yang terambil berwarna kuning seluruhnya dan berlainan warna
Berdasarkan diagram di atas, maka :
a. Kejadian bola yang terambil keduanya berwarna kuning adalah kejadian A1 dan B2, sehingga :
P(A1 Ç B2) = P(A1) . P(B2ïA1) =
.
Jadi, peluang bola yang terambil kuning seluruhnya adalah
.
b. Misalkan D adalah kejadian bola yang terambil berlainan warna maka D adalah ((A1 dan B1) atau (A2 B2)).
P(D) =
Jadi, peluang bola yang terambil berlainan warna adalah
.
.
LATIHAN 5
1. Dua buah dadu dilempar secara bersama-sama sebanyak satu kali. Berapa peluang muncul jumlah angka ke dua dadu sama dengan 3 atau 10?
2. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set lengkap kartu bridge. Berapa peluang bahwa yang terambil adalah kartu merah atau kartu As?
3. Jika dua dadu dilempar secara bersama-sama, berapa peluang kedua-duanya prima atau kedua-duanya ganjil?
4. Peluang dua siswa A dan B lulus tes berturut-turut adalah
dan
. Peluang siswa A lulus tes tetapi B tidak lulus B adalah
5. Dalam sebuah kotak terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng biru. Jika diambil dua kelereng berturut-turut tanpa pengembalian, tentukan probabilitasnya agar kelereng yang diambil pertama biru dan kedua merah?
PROBLEM SET